Jak grać w szachy aby wygrać, lub przynajmniej nie przegrać? To pytanie nurtuje miliony miłośników gry królewskiej. Czy matematyka może im coś w tym względzie podpowiedzieć? Otóż niewiele. Istnieje co prawda twierdzenie szachowe Zermelo, które mówi, że:
w grze w szachy albo białe mogą zawsze wygrać, lub co najmniej zremisować, albo czarne mogą zawsze wygrać.

Niemiecki matematyk Ernst Zermelo (1871 - 1953) udowodnił to twierdzenie w roku 1912, posługując się prostą i jednocześnie błyskotliwą ideą, która w ogólnym zarysie przedstawia się następująco.

Załóżmy, że partia szachów liczy n - ruchów, na które składa się n półruchów białych (oznaczanych literką b) i n półruchów czarnych (oznaczanych literką c). Przez P oznaczmy podzbiór należący do zbioru wszystkich ciągów n ruchowych składających się na partię, taki, że białe wygrywają lub co najmniej remisują. W języku logiki kwantyfikatorów można to zapisać w postaci wzoru 1, gdzie p oznacza właśnie taką nieprzegrywającą strategię białych:

Wzór 1 należy odczytać jako: istnieje taki półruch białych (b₁), że dla każdego półruchu czarnych (c₁) istnieje taki półruch białych (b₂), że dla każdego półruchu czarnych (c₂) itp. aż do n-tego ruchu, że ciąg utworzony z kolejnych posunięć należy do podzbioru P.

W szachach obowiązuje logiczne prawo wyłączonego środka:
p albo ~p (gdzie ~p oznacza nieprawda, że p)

Po jego wykorzystaniu z wzoru 1 otrzymujemy wzór 2:

Przez N oznaczmy zbiór wszystkich ciągów (partii) n-ruchowych, a N\P będzie wtedy różnicą zbiorów N i P.

Wzór 2 można wtedy zapisać w postaci wzoru 3:

Ostatni wzór (wzór 3) mówi, że jeśli pozycja końcowa nie jest nieprzegrywająca dla białych, to czarne mają strategię wygrywającą. W ten prosty sposób można udowodnić twierdzenie Zelmero (tzw. szachowe), które jednak nie wskazuje, czy białe, czy czarne są od początku partii w lepszej sytuacji.
Można jedynie przypuszczać na podstawie danych statystycznych, że to właśnie białe mają strategię nieprzegrywającą, a czarne muszą liczyć na błąd przeciwnika.

Na początkowej stronie www.purand.pl jest umieszczony przycisk uruchamiający grę nazwaną czworakiem. Dowód Zelmero ma również zastosowanie do tej gry z tym, że dzięki pracom Jamesa Dow Allena i Victora Allisa, znamy jej strategię optymalną. Wiemy, że rozpoczynający grę może ją zawsze wygrać, jeśli nie popełni żadnego błędu. Wiemy także, że choć gra w czworaka jest znacznie mniej skomplikowana od szachów, to wybór najlepszych ruchów nie jest wcale łatwy.